Oberstufe

A.12 | Nullstellen bzw. Gleichungen lösen

Gleichungen lösen kann man, indem man mit dem Nenner multipliziert (den Nenner wegmacht) und alles auf eine Seite bringt (gleich Null setzt). Ab jetzt berechnet man sozusagen Nullstellen von einer neuen Funktion. Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse. Man kann Nullstellen berechnen mit anhand von vier Möglichkeiten: a) ausklammern, b) Mitternachtsformel anwenden (p-q-Formel oder a-b-c-Formel), c) substituieren, d) Polynomdivision bzw. Horner-Schema anwenden.

 

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>>> [A.41.02] Nullstellen bei e-Funktionen (Herausforderung)

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>>> [A.42.03] Gleichungen lösen (Substitution, 2.Lösung exakt bestimmen)

>>> [A.43.01] Nullstellen

>>> [A.44.05] Gleichungen lösen

>>> [A.45.05] Gleichungen lösen

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Es gibt nur eine Hand voll Standardverfahren, nach denen man vorgehen kann, um Gleichungen zu lösen.

Vorbereitung der Gleichung: → Mit allen Nennern multiplizieren → Alle Klammern auflösen         → Alles auf eine Seite bringen       (Null setzen) Lösungsverfahren: → Ausklammern → p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel → Substitution → Polynomdivision (oder Horner-Schema)

→ Man sollte in der Gleichung keine Brüche haben. Falls daher Nenner existieren [die ein „x“ enthalten], sollte  man mit allen Nennern multiplizieren.
→ Um eine Gleichung nach „x“ aufzulösen, bringt man immer alles auf eine Seite, so dass auf der anderen Seite nur noch Null steht.
Mehr dazu mit Rechenbeispielen: Kap. [A.12.01]

Ist die Gleichung nun so auf Normalform gebracht, gibt es nur vier Möglichkeiten, nach denen man vorgehen kann, um die Gleichung zu lösen:

a) Ausklammern: Alles was sich irgendwie ausklammern lässt, klammert man aus: „x“, „x²“, „sin(x)“, „ex“..
b) Mitternachtsformel: entweder p-q-Formel oder a-b-c-Formel.
c) Substitution: „x²=u“, …
d) Polynomdivision [oder Horner-Schema]: Kann man eine Gleichung nicht durch Ausklammern, Mitternachtsformel oder Substitution lösen, bleibt eigentlich nur Polynomdivision übrig [oder das Horner-Schema, das eine leichte Abwandlung der Polynomdivision ist. Es ist völlig egal, welches der beiden man anwendet.]

verwandte Themen:
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→ Kap. [A.42.03] Trigonometrische Funktionen: Gleichungen lösen (Substitution, 2.Lösung exakt bestimmen)
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→ Kap. [A.44.05] Wurzelfunktionen: Gleichungen lösen

 

[A.12.01] Gleichungen auf Form bringen

Auf den letzten Seiten haben wir immer Gleichungen betrachtet, die die Form: „blablah = 0“ hatten. Was aber, wenn das nicht der Fall ist?

Betrachten wir z.B. diese Gleichungen:

Bevor man bei diesen Gleichungen mit den Standardverfahren [Ausklammern-Mitternachtsformel-Substitution-Polynomdivision] ansetzt, müssen die erst einmal eine vernünftige Form haben. Die Nenner müssen also weg, die Klammern müssen aufgelöst werden, alles muss auf eine Seite gebracht werden.

Gleichungen muss man auf Normalform bringen: → Mit allen Nennern multiplizieren → Alle Klammern auflösen → Alles auf eine Seite bringen          (Null setzen)

Rechenbeispiel a.
Lösen Sie die Gleichung:
(x–1)(x+3)+(x+1)(x+2) = 7–x

Lösung:
Es gibt keine Nenner, wir lösen die Klammern auf.
(x–1)(x+3)+(x+1)(x+2) = 7–x           | ausmultiplizieren
x²–x+3x–3 + x²+x+2x+2 = 7–x        | zusammenfassen
2x²+5x–1 = 7–x                                 | -7+x
2x²+6x–8 = 0
Ab jetzt haben wir die Gleichung in eine Standardform gebracht. Der nächste Schritt wäre a-b-c-Formel bzw. p-q-Formel.
Falls Sie den Rest der Lösung sehen möchten:  → Kap.1.2.3, Rechenbeispiel 6.

Rechenbeispiel b.
Lösen Sie die Gleichung:

Lösung:
Wir multiplizieren zuerst mit beiden Nennern, im zweiten Schritt lösen wir die Klammern auf, im letzten Schritt bringen wir alles nach links. Danach haben wir eine Gleichung in „Normalform“, da beginnt das Schema „Ausklammern-Mitternachtsformel-Substitution-Polynomdivision“.
Da hier zwei Nenner vorhanden sind, haben wir es übrigens mit einer „Bruchgleichung“ zu tun. Das ist aber nicht weiter interessant.

Rechenbeispiel c.
Lösen Sie die Gleichung:

Lösung:
Bevor wir mit den Nennern multiplizieren, machen wir einen kleinen Trick: wir klammern in allen Nennern aus und wenden auch überall binomische Formeln an. Danach multiplizieren wir mit allen Klammern der Nenner, lösen alle übrigen Klammern auf, im letzten Schritt bringen wir alles nach links.
Danach haben wir eine Gleichung in „Normalform“, da beginnt das Schema „Ausklammern-Mitternachtsformel-Substitution-Polynomdivision“.

 

 

[A.12.02] Gleichungen, die nur ein einziges "x" enthalten = Nullstellen von der ganz billigen Sorte

Rechenbeispiel d. (Eine lineare Gleichung)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden  g₁ : y=3x+4   mit der Geraden   g₂ : y = -2x–6

Lösung:
Man setzt beide Geraden gleich
           g₁    =    g₂
        3x+4   = -2x–6             | +2x-4    alles mit „x“ auf eine Seite, alles ohne „x“ auf die andere.
        5x       =  -10                | : 5
          x       =  -2

Für den Schnittpunkt braucht man noch den y-Wert, daher setzt man den x-Wert in eine der beiden Geraden ein:
x=-2 in g₁   ⇒   y = 3·(-2)+4 = -6+4 = -2   ⇒   Schnittpunkt  S(-2 | -2)

Eine ähnliche Vorgehensweise wie bei Rechenbeispiel a. kann man bei jeder Gleichung anwenden, in der der Buchstabe „x“ nur ein einziges Mal vorkommt, auch wenn es keine lineare Gleichung ist.

 

Rechenbeispiel e.
Lösen Sie die Gleichung:

Lösung:
               | ·(2-x²)        der Nenner muss weg
6 = -3·(2-x²)
6 = -6 + 3x²                   | + 6        | : 3
4 = x²                            | √
±2 = x   ⇒   x₁=-2   x₂=2

 

 

[A.12.03] Nullstellen finden durch Ausklammern

Bei vielen Gleichungen, kann man x oder x² ausklammern.(Ist allerdings nur sinnvoll, wenn auf der anderen Seite „0“ steht.)
Nun setzt man das Ausgeklammerte Null und den Term im Inneren der Klammer Null. So erhält man aus einer komplizierten Gleichung zwei etwas einfachere Gleichungen.
Dieses Vorgehen ist auch als „Satz vom Nullprodukt“ bekannt.

Rechenbeispiel f.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion  f  mit:   f(x) = 3x³–6x²–24x

Lösung:

 

Rechenbeispiel g.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion  f  mit:   f(x) = 3x³–6x²–24x

Lösung:

Rechenbeispiel h.
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung:        x·(x²+5) – 3·(x²+5) = 0

Lösung:

 

 

[A.12.04] und [A.12.05] Nullstellen von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichungen [das sind Gleichungen, in denen ein „x²“ vorkommt] löst man mit der  Mitternachtsformel.
Von der Mitternachtsformel gibt es zwei gängige Untervarianten, nämlich die  p-q-Formel und die abc-Formel.
Es reicht völlig, wenn man nur eine der beiden kann und es ist völlig egal, welche man vorzieht.

Rechenbeispiel i.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:    2x²+6x = 8

Theoretisch sollte jeder Oberstufenschüler diese Mitternachtsformel auch nach einem feuchtfröhlichen Abend um Mitternacht beherrschen.
Interessant wird´s bei Gleichungen höherer Ordnung, also bei 3., 4., ... Ordnung.

 

 

[A.12.06] Nullstellen finden durch Substitution

Substitution wendet man immer an, wenn man:
→ nichts ausklammern kann
→ drei Terme hat
→ die Hochzahl eines Terms doppelt so hoch ist wie die des anderen Terms
Substituieren heißt auf deutsch: „ersetzen“. Genau das machen wir jetzt auch. Wir ersetzen den einen Term durch einen anderen.

Merksatz: "Ist die Hochzahl „zwei“ und „vier“, dann substituieren wir."

Rechenbeispiel j.
x^₄ – 3x² + 5 = 0
Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von  x !

Lösung:
  x⁴–3x²+5 = 0            x² nennen wir ab jetzt „u“,  x⁴ wird damit zu u²
  u²–3u+5 = 0
         die Wurzel ist negativ      ⇒      keine Lösung

Rechenbeispiel k.
x⁴ – 2x² – 8 = 0            Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von  x !

Lösung:
  x⁴ – 2x² – 8 = 0            u=x² ,  u² = x⁴
  u² – 2u – 8  = 0
 
    u₁ = 4            u₂ = -2          statt  u  wieder  x²  hinschreiben ( =Resubstitution)
    x₂ = 4            x₂ = -2          Wurzel ziehen
    x_1,2=±2        ⇒      keine Lösung

Rechenbeispiel m.
x⁶ + 7x³ – 8 = 0        Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von  x !

Lösung:
x⁶ + 7x³ – 8 = 0             u=x³ ,  u² = x⁶
u² + 7u – 8 = 0

    u₁ = 1            u₂ = -8            statt  u  wieder  x³  hinschreiben ( =Resubstitution)
    x³ = 1            x³ = -8            dritte Wurzel ziehen [geht auch bei neg. Zahlen !]
    x₁ = 1            x₂ = -2

 

 

[A.12.07] Nullstellen finden mittels Polynomdivision (es gibt in [A.46.01] übrigens ein eigenes Kapitel zu Polynomdivision)

Falls bei einer Gleichung Mitternachtsformel nicht funktioniert, man nichts ausklammern kann und Substitution auch nicht geht, ist Polynomdivision am Start.
D.h. man muss eine Lösung(=Nullstelle) für „x“ erraten. Dafür setzt man (üblicherweise) ±1, ±2 und ±3 für „x“ ein und hofft, dass Null `rauskommt. Falls tatsächlich Null `rauskommt, teilt man die Gleichung durch ( x−Nullstelle).

Rechenbeispiel n.
x³+12x²+22x+12 = 0

Lösung:
p-q-Formel, a-b-c-Formel, Ausklammern, Substitution funktionieren alle nicht   ⇒    Nullstelle raten!

+1 einsetzen: 2·1³+12·1²+22·1+12 = 48 ≠ 0               „+1“ war falsch und unnötig. Nächste Zahl ausprobieren.
 -1 einsetzen:  2·(-1)³+12·(-1)²+22·(-1)+12 = 0          Juhuhh! (Wenn 0 `rauskommt, ist der Tag gleich schöner.)

Wir haben jetzt zufällig eine Nullstelle bei  -1  gefunden.
Wir teilen die Gleichung also durch   ( x -(-1))  =  (x+1)

Wir wissen bisher:

(2x³+12x²+22x+12) = (x+1)·(2x²+10x+12 )
und wir kennen (durch Raten) die erste Nullstelle:   x₁=-1
Mit dem Ergebnis der Polynomdivision berechnen wir die weiteren Nullstellen.

Also:        2x² + 10x +12 = 0      [mit Mitternachtsformel, die ich hier nicht mehr ausführlich ausführe]
        ⇒      x₂=-2,   x₃=-3

Somit hat man für  2x³+12x²+22x+12=0
die drei Lösungen:  x₁=-1     x₂=-2     und     x₃=-3

Rechenbeispiel p.
x³–9x²+27x–27 = 0

Lösung:
p-q-Formel, a-b-c-Formel, Ausklammern, Substitution funktionieren alle nicht.     ⇒    Nullstelle raten!

+1 einsetzen gibt nicht Null, -1 einsetzen auch nicht, +2 oder -2 auch nicht, erst beim Einsetzen von 3 kommt als Ergebnis Null raus.
Wir haben jetzt zufällig eine Nullstelle bei  3 gefunden.
Wir teilen die Gleichung also durch       (x–3)

Die Polynomdivision ist aufgegangen. Ein gutes Zeichen, denn: Beim Berechnen von Nullstellen, muss die Polynomdivision immer aufgehen.

Wir wissen bisher:
(x²–9x²+27x–27 ) = (x–3) · (x²–6x+9) und wir kennen (durch Raten) die erste Nullstelle: x₁ = 3
Mit dem Ergebnis der Polynomdivision berechnen wir die weiteren Nullstellen.

Also: x²–6x+9 = 0   [mit Mitternachtsformel]
        = 3 ± 0      ⇒     x₂ = x₃ = 3

Somit hat man für  x³–9x²+27x–27=0 die dreifache Lösung:  x_1,2,3 = 3

 

 

[A.12.08] Nullstellen finden mittels Horner-Schema (es gibt in [A.46.02] übrigens ein eigenes Kapitel zum Horner-Schema)

Das Horner-Schema ist eine leichte Abwandlung der Polynomdivision.
Sie sollten dieses Kapitel nur durchlesen, falls Sie sicher sind, dass Sie Horner-Schema in der Schule tatsächlich verwenden.

Falls bei einer Gleichung Mitternachtsformel nicht funktioniert, man nichts ausklammern kann und Substitution auch nicht geht, ist das Horner-Schema am Start.
D.h. man muss erst eine Lösung(=Nullstelle) für „x“ erraten. Dafür setzt man (üblicherweise) ±1, ±2 und ±3 für „x“ ein und hofft, dass Null `rauskommt. Falls tatsächlich Null herauskommt, kann man Horner auf die Gleichung loslassen.

Rechenbeispiel q.
2x³ +12x² +22x +12 = 0

p-q-Formel, a-b-c-Formel, Ausklammern, Substitution funktionieren alle nicht.   ⇒    Nullstelle raten!

„+1“ war falsch und unnötig. Nächste Zahl ausprobieren.
 -1 einsetzen:  2·(-1)3+12·(-1)2+22·(-1)+12 = 0          Juhuhh! (Wenn 0 `rauskommt, ist der Tag gleich schöner.)
Wir haben jetzt zufällig eine Nullstelle bei  -1  gefunden.
Wir sollten aber alle weiteren Nullstellen berechnen.

 

Zum Schluss muss immer „0“ rauskommen.

 

Die Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des neuen Polynoms, das man ab jetzt betrachtet.
Das neue Polynom ist immer eine Potenz kleiner als das alte. Da das Ausgangspolynom 3. Grades ist, hat unser neues Polynom die Potenz 2. Wir beginnen also mit x².
Die Zahlen vor den „x“ entnehmen wir (wie bereits angedeutet) der dritten Zeile unserer „Horner“-Tabelle.        (Die letzte „0“ wird ignoriert)

 ⇒       Neues Polynom:        2·x² +10·x + 12

Dieses neue Polynom musste man nun =0 setzen um die anderen Nullstellen zu bestimmen.
Das würde man mit der Mitternachts-Formel (p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel) berechnen.

Also:        2x² + 10x +12 = 0 [mit Mitternachtsformel]

       ⇒            x₂ = -2,  x₃ = -3

Somit hat man für  2x³+12x2+22x+12=0  die drei Lösungen:

x₁=-1      x₂=-2     und      x₃=-3

 

Rechenbeispiel r.
x³–9x²+27x–27 = 0

p-q-Formel, a-b-c-Formel, ausklammern, Substitution funktionieren alle nicht.    ⇒    Nullstelle raten!

+1 einsetzen gibt nicht Null, -1 einsetzen auch nicht, +2 oder -2 auch nicht, erst beim Einsetzen von 3 kommt als Ergebnis Null raus.

Wir haben jetzt zufällig eine Nullstelle bei  3 gefunden.
Wir sollten aber alle weiteren Nullstellen berechnet werden.

 

Zum Schluss muss immer „0“ rauskommen.

 

Die Zahlen der dritten Zeile sind die Koeffizienten des neuen Polynoms, das man ab jetzt betrachtet.
Das neue Polynom ist immer eine Potenz kleiner als das das alte. Da das Ausgangspolynom 3. Grades ist, hat unser neues Polynom die Potenz 2. Wir beginnen also mit x².
Die Zahlen vor den „x“ entnehmen wir (wie bereits angedeutet) der dritten Zeile unserer „Horner“-Tabelle.        (Die letzte „0“ wird ignoriert)

⇒    Neues Polynom:        1·x²–6·x+9

Dieses neue Polynom müsste man nun =0 setzen um die anderen Nullstellen zu bestimmen.  Das würde man mit der Mitternachts-Formel (p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel) berechnen.

Also: x²–6x+9 = 0 [mit Mitternachtsformel]
          = 3 ± 0    ⇒    x₂ = x₃ = 3

Somit hat man für  x³–9x²+27x–27=0    die dreifache Lösung:    x_1,2,3 = 3